浮動小数点表示
ＰＣにおける数値の表現方法には、先に紹介した固定小数点表示と浮動小数点表示の２種類があります。浮動小数点表示は指数表現によって広い範囲の数を少ないビット数で表現できる。そのため科学計算などで多く用いられている。
表現できる範囲
浮動小数点表示では表現できる範囲が広いためY＝実数、M＝仮数、B＝基数、E＝指数とし、次の計算式当てはめて表現できる範囲を求める。
Y＝M×B^E
10進数「123」を例にあげると以下の表のようになり仮数部分の小数点の位置が浮動している。
| 仮数 | 基数 | 指数 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1230 | × | 10 | ^ | -1 |
| 123 | × | 10 | ^ | 0 |
| 12.3 | × | 10 | ^ | 1 |
| 1.23 | × | 10 | ^ | 2 |
| 0.123 | × | 10 | ^ | 3 |
そのため実数Yの表示は数多くの組み合わせがあるが、仮数と指数の条件を予め一意に決めておくことで１つの組み合わせに絞ることが出来る。これを「正規化」と呼び、正規化することにより数値の精度も保つことが出来る。
10進数「123」において整数でない有効桁数３桁に正規化した実数Yは、「0.123×10^3」となる。
試験での浮動小数点の表現形式
試験では簡略化された図が出題される。
固定小数点表示
ＰＣにおける数値の表現方法には、固定小数点表示と浮動小数点表示の２種類があります。固定小数点表示は特定の位置に小数点の位置が固定されていることとして扱うものを言い、表現できる値の範囲は狭いが情報落ちが起こらないことや高速に演算できることが利点に挙げられます。
表現できる範囲
２進数８ビットを例に表現できる整数の範囲を考えてみる。整数なので小数点は右端に固定されている為以下の表のようになる
| 10進数 | ２進数 |
|---|---|
| 127 | 01111111 |
| 126 | 01111110 |
| ： | ： |
| 1 | 00000001 |
| 0 | 00000000 |
| -1 | 11111111 |
| ： | ： |
| -126 | 10000001 |
| -127 | 10000000 |
負数を２の補数で表現する固定小数点においてのｎビットで表現できる整数の範囲は、「－２^(n-1)～２^(n-1)－１」となる。
補数表現
コンピューターの内部では１と０しか扱わない。－(マイナス)を記号を使わずに表現するために「補数」を使用する。
補数
補数には、ある自然数に足したとき桁が1つ上がる最小の数をいう「基数の補数」とある自然数に足したとき桁が１つ上がる数の一つ手前の数をいう「減基数の補数」がある。
10進数を例に挙げると10進数には「９の補数」と「10の補数」があり、「９の補数」が減基数の補数、「10の補数」が基数の補数となる。
また整数123の「９の補数」は整数123にｘを足して999になる値「876」となり「10の補数」は整数123にｘを足して1000になる値「877」となる。
ｎ進数において「ｎ－１の補数」と「ｎの補数」の２つの補数がある。
2進数の補数計算
2進数での補数計算にはもっと単純な法則性があり、「１の補数」は元のビット数を反転させることで求められる。「２の補数」はその値に１を加えることで求める。
例えば２進数「0101」の１の補数はビット数を反転させ「1010」となり、２の補数は1010に１を加えた値「1011」となる。
2進数の「１の補数」はビット数を反転させる
「２の補数」は１の補数に１を加える
基数変換
情報処理技術者試験には、基数変換の問題がよく出題されます。ここでは以下の基本的な４つの基数変換について解説します。
- ｎ進数から10進数
- 10進数からｎ進数
- ２進数から８進数
- ２進数から１６進数
ｎ進数から10進数への基数変換
２進数「110.011」を10進数へ基数変換してみます。 変換方法は２進数の値の各桁に２進数の重みを掛けて最後に足します。
| ２進数 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 重み | 2^2 | 2^1 | 2^0 | . | 2^-0 | 2^-1 | 2^-2 |
| 掛ける | 4 | 2 | 0 | . | 0 | 0.25 | 0.125 |
最後に全てを足します「4+2+0+0+0.25+0.125」 となり、２進数「110.011」は10進数では「6.375」となります。
他の進数から10進数への基数変換も同様に計算できます。
ｎ進数から10進数への基数変換は各桁にｎ進数の重みを掛けて足す
10進数からｎ進数への基数変換
先ほどとは逆に10進数「6.375」を２進数へ基数変換します。 最初に整数部分と小数部分に分けて考えます。
整数部分
「6.375」整数部分は「6」です。２進数の場合、この値を２で割り余りを下から順に並べていきます。
| 値 | 基数 | 積 | 余り | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 6 | ÷ | 2 | ＝ | 3 | 0 |
| 3 | ÷ | 2 | ＝ | 1 | 1 |
| 1 | ÷ | 2 | ＝ | 0 | 1 |
これを下から順に並べると、２進数の整数部分は「110」になります。
2回目以降の計算は商を引き継いでいき商が０になったら終了とする
小数部分
「6.375」の少数部分は「0.375」です。２進数の場合、この値を２で掛けて整数部分を上から順に並べていきます。
| 値 | 基数 | 積(整数部分) | 積(少数部分) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 0.375 | × | 2 | ＝ | 0 | .75 |
| 0.75 | × | 2 | ＝ | 1 | .5 |
| 0.5 | × | 2 | ＝ | 1 | .0 |
この積の整数部分を上から順に並べると、「011」となりこの値が２進数の少数部分になります。 最後に整数部分の結果と小数部分の結果を足した値「110+0.011=110.011」が10進数「6.375」を２進数へ基数変換した値となります。
10進数からｎ進数への基数変換は整数部分をｎで割り余りを下から並べる
少数部分をｎで掛け整数部分を上から並べる
２進数から８進数
「２^3＝８」から２進数の３桁は８進数の１桁に対応しています。２進数の値を８進数で表すには小数点を基準に３桁ずつ区切り３桁に足らない部分は０で補い重みを掛けそれぞれを足して表します。 ２進数「1011.01」を８進数に基数変換してみます。
| ２進数 | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ０を補う | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 0 |
| ３桁区切り重み | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | . | 4 | 2 | 1 | ||||||
| 掛ける | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 1 | . | 0 | 2 | 0 | ||||||
最後に３桁区切りの中の値を足します「(0+0+1=1)、(0+2+1=3)、(0+2+0=2)」。 各区切りがそのまま位になるので２進数「1011.01」は８進数では「13.2」となります。
２進数から16進数
「２^4＝16」から２進数の４桁は１６進数の１桁に対応しています。先ほどの２進数から８進数同様の考え方を４桁に変えることで表すことが出来ます。 ２進数「1011.01」を16進数に基数変換してみます。
| ２進数 | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ０を補う | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 0 |
| ４桁区切り重み | 8 | 4 | 2 | 1 | . | 8 | 4 | 2 | 1 | ||||||
| 掛ける | 8 | 0 | 2 | 1 | . | 0 | 4 | 0 | 0 | ||||||
４桁区切りの中の値を足します「(8+0+2+1=11)、(0+4+0+0=4)」となり、２進数「1011.01」は16進数では「B.4」となります。
16進数では「10=A,11=B,12=C,13=D,14=E,15=F」となる点に注意が必要です
基数と重み
ｎ進数のｎの部分を基数と呼ぶ。
基数の桁上がり
ｎ進数では、基数の値ｎまでいくと桁上がりをする。例えば、８進数の場合「1,2,3,4,5,6,7」まで数え、次は「10,11,12,…,17,20」と数えていく。
ｎ進数は「ｎ^m」の値で桁上がりをする
mは何回目の桁上がりか。1回目はそのままｎ、3回目ならｎ^3
主な進数の桁上がり表
| 10進数 | 2進数 | 8進数 | 16進数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 01 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
基数の重み
数字は基数に重みを掛け合わせたもので表している。例えば、10進数の「1234」をこれを元に考えると、「(1*1000) + (2*100) + (3*10) + (4*1)」となる。
